INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

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Integrales de funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones ordinarias.

Las funciones hiperbólicas básicas son:

  • El seno hiperbólico sinh⁡x
  • El coseno hiperbólico cosh⁡x de donde podemos derivar la tangente hiperbólica tanh⁡x

Las identidades trigonométricas hiperbólicas formulario más básicas son las siguientes:


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INTEGRALES BINOMIAS

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 Se trata de integrales de la forma: que incluye integrales de raíces cuadradas (p =  1/2 ), de raíces cúbicas (p =  1/3 ), etc.. Nosotros por comodidad al referirnos a ellas, vamos a hablar de dos tipos:   Obsérvese que las integrales de tipo I son las de tipo general pero con  a=b=n= 1.   Toda integral binómica  tipo general  debe ser transformada a  binómica tipo  I para ser integrada.   En concreto, toda integral binómica tipo general se convirte en tipo I con el cambio: b x n  = a t Esto lo vamos a ver con  un ejemplo , tranformemos a tipo I  la integral: para ello hacemos el cambio:   ahora despejamos  x  y hallamos  dx : y sustituimos en la integral: donde hemos extraido un 2 del parentesis (2 + 2t)¹/², la integral es de tipo I.
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INTEGRACIÓN POR PARTE

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Método de integración por partes  Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula: Regla mnemotécnica:  Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU). Aunque se trata de un método simple, hay que aplicarlo correctamente. Método: El integrando debe ser un producto de dos factores. Uno de los factores será  u  y el otro será  dv . Se calcula  du  derivando  u  y se calcula  v  integrando  dv . Se aplica la fórmula.   Escoger adecuadamente  u  y  dv : Una mala elección puede complicar más el integrando. Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo  x 3 ). Si consideramos  dv = x 3 . Entonces, integrando tendremos que  v = x 4 /4,  con lo que hemos aumentado el grado...
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MÉTODO DE TRAPECIO

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  La regla del trapecio es uno de los métodos más utilizados para calcular aproximaciones numéricas de integrales definidas. Es la primera de las fórmulas cerradas de integración de  Newton – Cotes, para el caso cuando el polinomio interpolante es de grado uno. Para el polinomio interpolante de primer grado se tiene: A = ∫ b a f ( x ) d x ≅ ∫ b a f 1 ( x ) d x , donde f 1 ( x ) = f ( a ) + f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) Precisamente el área bajo la recta es una aproximación de la integral  ∫ b a f ( x ) d x , es decir que  A = ∫ b a [ f ( a ) + f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) ] d x . Luego se tiene que la regla del trapecio viene dada por la fórmula: A = ∫ b a f ( x ) d x ≈ ( b − a ) [ f ( a ) + f ( b ) 2 ] El nombre regla del trapecio se debe a la interpretación geométrica que se hace de la fórmula. Cuando el polinomio interpolante es de grado uno, su gráfica representa una línea recta en el intervalo [a, b] que es el área del trapecio que se forma, como se mue...
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