integrales que incluyen potencias de seno y coseno

 En esta sección estudiaremos métodos de integración de funciones con la forma:

∫sinmxcosnxdx

donde m , y n  son enteros no negativos.

Las siguientes tres categorías o formas de problemas generales son de interés:

1. n=0 , por lo que esos problemas se ven como ∫sinmxdx ;
2. m=0 , por lo que esos problemas se ven como ∫cosnxdx ;
3. m≥1  y n≥1 , por lo que esos problemas se ven como ∫sinmxcosnxdx .

Revisemos las tres formas en orden.

Forma I: ∫sinmxdx

Esta forma de integral puede ser calculada utilizando una fórmula de reducción general (aplicando la integración por partes para derivar). Una fórmula de reducción es una fórmula solución que reduce una integral a una forma más fácil de resolver, la que a su vez puede ser reducida a una integral aún más fácil de calcular y así sucesivamente. La fórmula de reducción para la integral es la siguiente:

Fórmula de reducción: ∫sinmxdx

∫sinmxdx=−1msinm−1xcosx+m−1m∫sinm−2xdx

Puedes comprobar que esta fórmula funciona utilizándola para el caso m=1 , que lleva a ∫sin1xdx=−11sin1−1xcosx+1−11∫sinm−2xdx=−cosx .

Este es un resultado familiar.

Como alternativa a la fórmula de reducción, la siguiente tabla proporciona una pauta para evaluar problemas con esta forma dependiendo de si el exponente es par o impar.

∫sinmxdx	Procedimiento	Identidades clave
m>1 1" /> 1" />  es impar (m=2p+1)	(1) Transforma la integral: ∫sinmxdx=∫sin2pxsinxdx (2) Usa la identidad para transformar la integral: ∫sin2pxsinxdx=∫(1−cos2x)psinxdx (3) Usa la técnica de sustitución u para cambiar las variables:  u=cosx y du=−sinxdx se obtiene ∫(1−cos2x)psinxdx=−∫(1−u2)pdu (4) Expande el polinomio en u . (5) Integra el polinomio resultante en términos de u . (6) Sustituye cosx  por u .	sin2x=(1−cos2x)
m es par  (m=2p)	(1) Convierte la integral: ∫sinmxdx=∫sin2pxdx (2) Usa la identidad para transformar la integral: ∫sin2pxdx=∫(12(1−cos2x))pdx (3) Expande en potencias de cos2x  y aplica el procedimiento de par/impar del Problema con Forma II tantas veces como sea necesario para simplificar el integrando.	sin2x=12(1−cos2x)

Ejemplo A

Calcula ∫sin3xdx .

Solución:

∫sin3xdx∫sin3xdx=∫sin2xsinxdx=∫(1−cos2x)sinxdx=−∫(1−u2)du=−(u−u33)+C=−cosx+cos3x3+C…Separate to even and odd powers because m=3, odd.…Used the identity. sin2x=(1−cos2x)…Used substitution: u=cosx and du=−sinxdx…Integrated…Substituted cosx for u.

Forma II: ∫cosnxdxta forma de la integral también puede ser calculada con una fórmula de reducción general (aplicando la integración por partes para derivar).

Fórmula de reducción: ∫cosnxdx

∫cosnxdx=1ncosn−1xsinx+n−1n∫cosn−2xdx

Puedes comprobar que esta fórmula funciona utilizándola para el caso n=1 , que lleva a ∫cos1xdx=11cos1−1xsinx+1−11∫cosn−2xdx=sinx .