integrales de productos de senos y cosenos con diferente

 Esta sección aborda las integrales relacionadas con las funciones del producto o productos de funciones seno y coseno que tienen argumentos lineales diferentes, por ejemplo, 

∫sin(ax)sin(bx)dx , o ∫sin2(ax)cos(cx)dx . El procedimiento está conformado por las siguientes tres identidades básicas del producto de seno y coseno que implican diferentes argumentos:

Identidad de producto seno/coseno	Derivada a partir de
sinAsinB=12[cos(A−B)−cos(A+B)]	cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB
sinAcosB=12[sin(A−B)+sin(A+B)]	sin(A+B)=sinAcosB−cosAsinB sin(A−B)=sinAcosB+cosAsinB
cosAcosB=12[cos(A−B)+cos(A+B)]	cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB

El procedimiento consiste en aplicar las identidades para reducir la complejidad del integrando.

Ejemplo A

Calcula ∫sinxsin3xdx

Solución:

∫sinxsin3xdx∫sinxsin3xdx=∫12[cos(x−3x)−cos(x+3x)]dx=∫12[cos(−2x)−cos(4x)]dx=12[sin(−2x)−2]−12[sin4x4]=sin(2x)4−sin4x8+C…Use

Ejemplo B

Calcula ∫sin(9x)cos(4x)dx

Solución:

∫sin(9x)cos(4x)dx∫sin(9x)cos(4x)dx=∫12[sin(9x−4x)+sin(9x+4x)]dx=12∫[sin(5x)+sin(13x)]dx=12[−cos(5x)5]+12[−cos13x13]=−[cos(5x)10+cos(13x)26]+C

Ejemplo C

Calcula ∫cos(9x)cos(5x)dx

Solución:

∫cos(9x)cos(5x)dx∫sin(9x)cos(4x)dx=∫12[cos(9x−4x)+cos(9x+4x)]dx=12∫[cos(5x)+cos(13x)]dx=12[sin(5x)5]+12[sin13x13]+C=[sin(5x)10+sin13x26]+C

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes calcular la integral ∫0πsinkxsinmxdx=0  para demostrar la ortogonalidad?

Opción 1: Utilizando la integración por partes (se debe aplicar dos veces) para resolver la integral se obtiene

∫0πsinkxsinmxdx=1m2−k2[kcoskπsinmπ−msinkπcosmπ].

Para que la integral sea 0,  m y  k deben ser enteros (sinmπ=sinkπ=0)

Opción 2: Utilizando las propiedades de suma y diferencia de ángulos en el integrando se obtiene sinkxsinmx=12[cos(k−m)x−cos(k+m)x] . La integral se convierte en

∫0πsinkxsinmxdx=12(k2−m2)[(k+m)sin(k−m)π−(k−m)sin(k+m)π].

Para que la integral sea 0, (k−m)  y (k+m)  deben ser enteros.