el teorema del valor medio para integrales

 La integral definida puede utilizarse para determinar el área neta bajo una función curva. El teorema del valor medio para integrales definidas solo nos dice que siempre hay un rectángulo con la misma área y ancho, además la parte superior del rectángulo intersecta la función. ¿Puedes explicarnos por qué la altura del rectángulo (la intersección con la función curva) se considera (por definición) el valor promedio de la integral definida?

Orientación

Para entender el significado del teorema del valor medio para integrales definidas, recuerda cómo definimos la integral definida como el área bajo la curva  y=f(x) para el intervalo desde x=a a  x=b en la figura de a continuación.

Se definió el área bajo la curva y la integral definida de la siguiente manera:

A=∫abf(x)dx=limn→∞∑i=1nf(xi)△x where △x=b−an.

Al remplazar △x  en la sumatoria por b−an  nos permite que la siguiente relación se desarrolle:

\limits is allowed only on operators

La imagen anterior nos muestra que le valor promedio de una función en un intervalo está relacionada con la integral definida de la función en el intervalo. Está relación se define como:

Definición

Si f  es integrable en el intervalo cerrado [a,b] , el valor promedio (medio) de  f en  [a,b] se da por:

Average (f)=1b−a∫abf(x)dx

El teorema del valor medio es una consecuencia de la propiedad de una función continua y se define como:

Teorema

Si f  es continua en el intervalo cerrado [a,b] , entonces en algún punto  c en el intervalo abierto (a,b) :

∫abf(x)dx=f(c)(b−a)

Nota: Esto significa f(c)=Average (f) , i.e., f(c)   es el valor promedio en el intervalo.

Ejemplo A

Calcula el valor promedio de f(x)=x3  en el intervalo [0, 3] y encuentra el punto  c donde f(c)  es igual al valor promedio.

Solución:

Al utilizar la definición de límite, encontramos que

∫03x3dx=814.

Ahora podemos encontrar el valor promedio de f   en el intervalo:

f(c)(b−a)f(c)(3−0)f(c)f(c)=∫abf(x)dx=∫03x3dx=814=814⋅13=274…The Mean Value Theorem for Definite Integrals.…The average value of f in the interval is 6.75.

Ya que f(c)=c3=6.75 , esto significa c=6.75−−−−√3=1.89 .