APLICACIONES DE INTEGRALES

 Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:

1. Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba, gráfica de la función ${\displaystyle y=f(x)={\sqrt {x}}\,}$, acotada entre ${\displaystyle x=0\,}$ y ${\displaystyle x=1\,}$.
2. La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la curva de función ${\displaystyle f\,}$, en el intervalo desde ${\displaystyle 0\,}$ hasta ${\displaystyle 1\,}$? es: que el área coincidirá con la integral de ${\displaystyle f\,}$. La notación para esta integral será

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,{\text{d}}x\,\!}$

.

Una primera aproximación, aunque no muy precisa, para obtener esta área, consiste en determinar el área del cuadrado unidad cuyo lado lo da la distancia desde x=0 hasta x=1 o también la longitud entre y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1x1 = 1.

 Tal como se puede inferir, el verdadero valor de la integral tendrá que ser más pequeño. Particionando la superficie en estudio, con trazos verticales, de tal manera que vamos obteniendo pequeños rectángulos, y reduciendo cada vez más el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación,

 se obtendrá un mejor resultado. Por ejemplo, dividamos el intervalo en cinco partes, empleando los puntos 0, ¹⁄₅, ²⁄₅,³⁄₅,⁴⁄₅ y finalmente la abscisa 1. 

Se obtienen cinco rectángulos cuyas alturas se determinan aplicando la función con las abscisas anteriormente descritas (del lado derecho de cada pedazo de la curva), así ${\displaystyle {\sqrt {{}^{1}/_{5}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {{}^{2}/_{5}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {{}^{3}/_{5}}}}$… y así hasta ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1\,}$. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una segunda aproximación de la integral que se está buscando,

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\ldots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0,7497\,\!}$